Redes de Sistemas Dinâmicos Acoplados com Estrutura Gradiente ou Hamiltoniana
Published in Dissertação de Mestrado, UNIFESP, 2020
Uma rede de sistemas dinâmicos é equipada com um conjunto canônico de observáveis para os estados de seus nós individuais. Além disso, a forma da EDO subjacente é limitada pela topologia da rede e como essas equações se relacionam. Para sistemas acoplados associados a uma rede, podem haver espaços fluxo-invariantes (subespaços de sincronia onde alguns subsistemas evoluem de forma sı́ncrona), cuja existência é independente das equações do sistema e depende apenas da topologia da rede. Em adição, qualquer sistema acoplado da rede, quando restrito a esse subespaço de sincronia, determina um novo sistema acoplado associado a uma rede menor (quociente). Uma rede regular é uma rede com um tipo de nó e um tipo de acoplamento.
Mostramos condições para uma bifurcação de codimensão um de uma rede regular oriunda de um equilı́brio sı́ncrono em nı́vel linear ser isomorfa a um autoespaço generalizado da matriz de adjacência da rede. Em seguida, focamos em sistemas de células acopladas, nos quais células individuais também são gradientes ou hamiltonianas. Em termos gerais, provamos que apenas sistemas com digrafos acoplados bidirecionalmente podem ser do tipo gradiente ou hamiltoniano. Caracterizamos condições para que a propriedade de um sistema acoplado ser gradiente ou hamiltoniano seja preservada pelo sistema acoplado quociente. Além dos critérios topológicos, também estudamos a teoria linear de redes regulares de sistemas de células acopladas do tipo gradiente (hamiltoniano).
Em seguida, provamos resultados em bifurcações de estado estacionário e uma versão do Lema de Ramificação Equivariante e do Teorema de Hopf Equivariante. Ilustramos uma rede neural fornecida por dois conjuntos de neurônios que são mutuamente acoplados por sinapses excitatórias ou inibitórias, modelados por um sistema acoplado que exibe estruturas gradiente e hamiltoniana, e como soluções periódicas de equilı́brio aparecem no Problema Restrito dos Três Corpos.
Recommended citation: MELO, Antonio. Redes de Sistemas Dinâmicos Acoplados com Estrutura Gradiente ou Hamiltoniana. Dissertação de Mestrado, UNIFESP. (2020). 119f.
Download PDF